Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 9 e^{- 2 x} & - 15 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15

$a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

- 3

$- 3$ par

9

$9$ .

a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- 15

$- 15$ par

- 3

$- 3$ .

a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez

- 27 e^{- 2 x}

$- 27 e^{- 2 x}$ et

45 e^{- 2 x}

$45 e^{- 2 x}$ .

a_{11} = 18 e^{- 2 x}

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

a_{11} = 18 e^{- 2 x}

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

a_{11} = 18 e^{- 2 x}

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

a_{11} = 18 e^{- 2 x}

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 12 e^{- 4 x} & - 15 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15

$a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

- 3

$- 3$ par

12

$12$ .

a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- 15

$- 15$ par

- 3

$- 3$ .

a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez

- 36 e^{- 4 x}

$- 36 e^{- 4 x}$ et

45 e^{- 4 x}

$45 e^{- 4 x}$ .

a_{12} = 9 e^{- 4 x}

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

a_{12} = 9 e^{- 4 x}

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

a_{12} = 9 e^{- 4 x}

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

a_{12} = 9 e^{- 4 x}

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

e^{- 4 x}

$e^{- 4 x}$ par

e^{- 2 x}

$e^{- 2 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.2.1

Déplacez

e^{- 2 x}

$e^{- 2 x}$ .

a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Étape 2.3.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Étape 2.3.2.2.1.2.3

Soustrayez

$4 x$ de

$- 2 x$ .

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Étape 2.3.2.2.1.3

Multipliez

$12$ par

$3$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Étape 2.3.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x}$

Étape 2.3.2.2.1.5

Multipliez

$e^{- 4 x}$ par

$e^{- 2 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.5.1

Déplacez

$e^{- 2 x}$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x})$

Étape 2.3.2.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x}$

Étape 2.3.2.2.1.5.3

Soustrayez

$4 x$ de

$- 2 x$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 6 x}$

Étape 2.3.2.2.1.6

Multipliez

$- 3$ par

$9$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 27 e^{- 6 x}$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

$27 e^{- 6 x}$ de

$36 e^{- 6 x}$ .

$a_{13} = 9 e^{- 6 x}$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

$0$ par

$- 3$ .

$a_{21} = 0 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$- 3$ .

$a_{21} = 0 + 9 e^{- 2 x}$

Étape 2.4.2.2.2

Additionnez

$0$ et

$9 e^{- 2 x}$ .

$a_{21} = 9 e^{- 2 x}$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par

$6$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$- 3$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

Étape 2.5.2.2.2

Additionnez

$- 18 e^{- 4 x}$ et

$9 e^{- 4 x}$ .

$a_{22} = - 9 e^{- 4 x}$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 6 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

$e^{- 4 x}$ par

$e^{- 2 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.2.1

Déplacez

$e^{- 2 x}$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.6.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.6.2.2.1.2.3

Soustrayez

$4 x$ de

$- 2 x$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.6.2.2.1.3

Multipliez

$6$ par

$3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.6.2.2.1.4

Multipliez

$- 3 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Étape 2.6.2.2.1.4.2

Multipliez

$0$ par

$e^{- 4 x}$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0$

Étape 2.6.2.2.2

Additionnez

$18 e^{- 6 x}$ et

$0$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x}$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 9 e^{- 2 x} & - 15 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 \cdot - 15 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

$0$ par

$- 15$ .

$a_{31} = 0 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$- 9$ .

$a_{31} = 0 + 27 e^{- 2 x}$

Étape 2.7.2.2.2

Additionnez

$0$ et

$27 e^{- 2 x}$ .

$a_{31} = 27 e^{- 2 x}$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & - 15 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 15 - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

$- 15$ par

$6$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$- 12$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} + 36 e^{- 4 x}$

Étape 2.8.2.2.2

Additionnez

$- 90 e^{- 4 x}$ et

$36 e^{- 4 x}$ .

$a_{32} = - 54 e^{- 4 x}$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 6 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

$e^{- 4 x}$ par

$e^{- 2 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.2.1

Déplacez

$e^{- 2 x}$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.9.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.9.2.2.1.2.3

Soustrayez

$4 x$ de

$- 2 x$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.9.2.2.1.3

Multipliez

$6$ par

$9$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Étape 2.9.2.2.1.4

Multipliez

$- 12 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 12$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Étape 2.9.2.2.1.4.2

Multipliez

$0$ par

$e^{- 4 x}$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0$

Étape 2.9.2.2.2

Additionnez

$54 e^{- 6 x}$ et

$0$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x}$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 18 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & 9 e^{- 6 x} \\ - 9 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & - 18 e^{- 6 x} \\ 27 e^{- 2 x} & 54 e^{- 4 x} & 54 e^{- 6 x} \end{array}]$